目标跟踪-ECO算法中部分公式推导

针对ECO（Efficient Convolution Operators for Tracking） 论文中公式10,将传统函数泛化，具体推导。

原损失函数

$$E(f)=\sum_{j=1}^M\alpha_j\|S_f\{x_j\}-y_j\|_{L^2}^2+\sum_{d=1}^D\|wf^d\|_{L^2}^2 \tag{3}$$

泛化后损失函数

$$E(f)=\mathbb{E}\{\|S_{f(x)}-y\|_{L^2}^2\}+\sum_{d=1}^D\|wf^d\|_{L_2}^2 \tag{10}$$

$\mathbb{E}$是联合概率分布$p(x,y)$的期望。当$p(x,y)=\sum_{j=1}^M\alpha_j\delta_{x_j,y_j}(x,y)$时，原损失函数$(3)$等价与泛化后损失函数。其中变量$(x,y)$=$(x_j,y_j)$时$\delta_{x_j,y_j}(x,y)=1$。举例，当$M=2$时，

$$\begin{aligned} \mathbb{E}\{\|S_{f(x)}-y\|_{L^2}^2\} &=\|\sum_{j=1}^M\|S_f\{x_j\}-y_j\|_{L^2}^2P(x=x_j,y=y_j) \\ &=\|S_f\{x_1\}-y_1\|_{L^2}^2P(x_1,y_1)+S_f\{x_2\}-y_2\|_{L^2}^2P(x_2,y_2) \\ &=\alpha_1\delta_{x_1,y_1}(x_1,y_1)\|S_f\{x_1\}-y_1\|_{L^2}^2+\alpha_2\delta_{x_2,y_2}(x_2,y_2)\|S_f\{x_2\}-y_2\|_{L^2}^2P(x_2,y_2) \\ &=\alpha_1\|S_f\{x_1\}-y_1\|_{L^2}^2+\alpha_2\|S_f\{x_2\}-y_2\|_{L^2}^2 \end{aligned}$$

在此理论基础上作者使用更加紧凑的概率分布模型（高斯混合模型），从而达到压缩样本空间并提高样本多样性的目的。

参考：

目标跟踪VOT-ECO中，cubic_spline_fourier函数推导与源码解释 - tanmx219的博客 - CSDN博客

ECO: Efficient Convolution Operators for Tracking 论文阅读 - calvinpaean的博客 - CSDN博客