zh-hongda

FT,LT和ZT总结

学习DFT后的总结,包含但不限于DFT,对三大变换进行简要分析、总结。

为了解信号在变换域的处理方法,学习了东南大学孟桥教授的信号与系统,辅以
东南大学吴镇扬教授的数字信号处理
西安电子科技大学郭宝龙教授的信号与系统

从线性代数的角度看,三大变换分别将信号从时域变换到了频域、S域、Z域,把信号从一组基下换到了另一组基下。

Fourier series

“傅里叶级数”的名字是为了纪念 Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830)在三角级数方面的重要贡献。该理论认为任意的周期函数都可以被一组三角函数近似代替。

傅里叶级数还可以表示为,

或者表示为,

Fourier transform
在傅里叶级数基础上进一步扩展,即使非周期的函数也可以被其他函数近似代替。
令傅里叶级数中的 $T\rightarrow \infty$ ,则 $\Omega \rightarrow 0$ ,此时 $n\Omega$ 近似于 $\omega$

乘$T$是为了将$F(j\omega)$放大,便于观察和显示。

Discrete Fourier series (DFS)
将傅里叶级数中的$f(t)$在时域离散化,得到离散傅里叶级数。
原式,

对于周期为$N$的周期离散序列$\tilde{x}(n)$而言,时域积分演变为离散求和,因此有,

discrete-time Fourier transform (DTFT)
将傅里叶变换中的$f(t)$在时域离散化,得到离散时间傅里叶变换。
对 $f(t)$ 以 $T$ 为周期进行采样,

对$f_{\delta}(t)$进行傅里叶变换,

将T归一化后,得到:

Discrete Fourier transform (DFT)
取DFS中的一个周期得到(或者将DTFT进一步在频域离散化),得到离散傅里叶变换。

变换 时域特性 频域特性
Fourier series $f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[c_n\cdot e^{jn\Omega t}]$ $c_n=\frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt$
Fourier transform $f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}F(j\omega)e^{-j\omega t}d\omega$ $F(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$
DFS 待补 $\tilde{X}(jk\Omega)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}(n)e^{-jk\Omega n}$
DTFT 待补 $F(j\omega)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}f(k)e^{-j\omega k}$
DFT 待补 $X(jk\Omega)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jk\Omega n}$

Laplace transform

$f(t)$进行傅里叶变换的前提是,满足绝对可积条件。即,

当$f(t)$不满足绝对可积条件时,为原函数$f(t)$乘上一个一个衰减因子$e^{-\delta t}$,然后进行傅里叶变换。

令$s=\delta +j\omega$ ,得到

傅里叶变换将函数变换到频域,拉普拉斯变换将函数变换到s域。

Z-transform

$f_{\delta}(t)$进行DTFT的前提是,满足绝对可积条件。即,

或,

当$f_{\delta}(t)$不满足绝对可积条件时,为$f_{\delta}(t)$乘上一个衰减因子$e^{-\delta k}$,

令$z=e^{(\delta +j\omega)}$,

DTFT 将函数变换到频域,Z 变换将函数变换到 z 域。

zzz

  • 主值区间:
  • 主值序列:
  • 直流分量:傅里叶级数中的$\frac{a_0}{2}$
  • 基波分量:傅里叶级数中 $a_1\cos \Omega t$ 和 $a_1\sin \Omega t$
  • n次谐波分量:傅里叶级数中 $a_n\cos n\Omega t$ 和 $a_n\sin n\Omega t$
  • 频谱泄露: 造成频谱泄露的原因在于傅里叶变换的输入信号不能准确的、完整的代表被分析信号,输出产生的一种误差, 这种误差可以通过加合适的窗函数或延长时间窗得以改善,当输入信号的不完整性达到一定程度,输出是一种错误的结果。