FT,LT和ZT总结

学习DFT后的总结，包含但不限于DFT，对三大变换进行简要分析、总结。

为了解信号在变换域的处理方法，学习了东南大学孟桥教授的信号与系统，辅以
东南大学吴镇扬教授的数字信号处理
西安电子科技大学郭宝龙教授的信号与系统

从线性代数的角度看，三大变换分别将信号从时域变换到了频域、S域、Z域，把信号从一组基下换到了另一组基下。

Fourier series

“傅里叶级数”的名字是为了纪念 Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830)在三角级数方面的重要贡献。该理论认为任意的周期函数都可以被一组三角函数近似代替。

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n cosn\Omega t +b_n sinn\Omega t) , \Omega=\frac{2\pi}{T}\\ a_n=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)cos(n\Omega t)dt\\ b_n=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)sin(n\Omega t)dt$$

傅里叶级数还可以表示为，

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_n cos(n\Omega t +\varphi_n)\\ A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\\ \varphi_n=-\arctan \frac{b_n}{a_n}$$

或者表示为，

$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[c_n\cdot e^{jn\Omega t}]\\ c_n=\frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt\\$$

Fourier transform
在傅里叶级数基础上进一步扩展，即使非周期的函数也可以被其他函数近似代替。
令傅里叶级数中的 $T\rightarrow \infty$ ，则 $\Omega \rightarrow 0$ ,此时 $n\Omega$ 近似于 $\omega$

$$F(j\omega)=T\cdot c_n=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$$

乘$T$是为了将$F(j\omega)$放大，便于观察和显示。

Discrete Fourier series (DFS)
将傅里叶级数中的$f(t)$在时域离散化，得到离散傅里叶级数。
原式，

$$c_k=\frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-jk\Omega t}dt\\$$

对于周期为$N$的周期离散序列$\tilde{x}(n)$而言，时域积分演变为离散求和，因此有，

$$\tilde{X}(jk\Omega)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}(n)e^{-jk\Omega n}\\$$

discrete-time Fourier transform (DTFT)
将傅里叶变换中的$f(t)$在时域离散化，得到离散时间傅里叶变换。
对 $f(t)$ 以 $T$ 为周期进行采样，

$$f_{\delta}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}f(kT)\delta(t-kT)$$

对$f_{\delta}(t)$进行傅里叶变换，

$$\begin{aligned} F(j\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{\delta}(t)e^{-j\omega t}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}[\sum_{k=-\infty}^{+\infty}f(kT)\delta(t-kT)]e^{-j\omega t}dt\\ &=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(kT)\delta(t-kT)e^{-j\omega t}dt\\ &=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}f(kT)[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-kT)e^{-j\omega t}dt]\\ &=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}f(kT)e^{-j\omega kT} \end{aligned}$$

将T归一化后，得到:

$$F(j\omega)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}f(k)e^{-j\omega k}$$

Discrete Fourier transform (DFT)
取DFS中的一个周期得到（或者将DTFT进一步在频域离散化），得到离散傅里叶变换。

$$X(jk\Omega)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jk\Omega n}\\$$

Laplace transform

$f(t)$进行傅里叶变换的前提是，满足绝对可积条件。即，

$$\int_0^{+\infty}\left |f(t)\right |< +\infty$$

当$f(t)$不满足绝对可积条件时，为原函数$f(t)$乘上一个一个衰减因子$e^{-\delta t}$，然后进行傅里叶变换。

$$\begin{aligned} F_1(j\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-\delta t}e^{-j\omega t}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-(\delta +j\omega)t }dt\\ \end{aligned}$$

令$s=\delta +j\omega$ ，得到

$$\begin{aligned} F(s)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\\ \end{aligned}$$

傅里叶变换将函数变换到频域，拉普拉斯变换将函数变换到s域。

Z-transform

$f_{\delta}(t)$进行DTFT的前提是，满足绝对可积条件。即，

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\left |f_{\delta}(t)\right |<+\infty$$

或，

$$\sum_{k=0}^{+\infty}\left |f(kT)\right |<+\infty$$

当$f_{\delta}(t)$不满足绝对可积条件时，为$f_{\delta}(t)$乘上一个衰减因子$e^{-\delta k}$，

$$\begin{aligned} F_1(j\omega)&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}f(k)e^{-\delta k}e^{-j\omega k}\\ &=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}f(k)e^{(\delta +j\omega)^{-k}} \end{aligned}$$

令$z=e^{(\delta +j\omega)}$,

$$\begin{aligned} F(z)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}f(k)z^{-k} \end{aligned}$$

DTFT 将函数变换到频域，Z 变换将函数变换到 z 域。

zzz

• 主值区间：
• 主值序列：
• 直流分量：傅里叶级数中的$\frac{a_0}{2}$
• 基波分量：傅里叶级数中 $a_1\cos \Omega t$ 和 $a_1\sin \Omega t$
• n次谐波分量：傅里叶级数中 $a_n\cos n\Omega t$ 和 $a_n\sin n\Omega t$
• 频谱泄露： 造成频谱泄露的原因在于傅里叶变换的输入信号不能准确的、完整的代表被分析信号，输出产生的一种误差， 这种误差可以通过加合适的窗函数或延长时间窗得以改善，当输入信号的不完整性达到一定程度，输出是一种错误的结果。